.
Spis treści
Używanie kalkulatora odchylenia standardowego
Kalkulator odchylenia standardowego powyżej oferuje prosty sposób zarówno na obliczenie, jak i nauczenie się, jak znaleźć odchylenie standardowe zestawu liczb. Lepiej niż jakikolwiek inny standardowy kalkulator, ten kalkulator dostarcza krok po kroku rozwiązania, jak znaleźć odpowiedź na własną rękę. Ten kalkulator odchylenia standardowego jest doskonałym narzędziem dydaktycznym, które pomoże Ci w uzyskaniu poprawnych odpowiedzi w Twojej własnej pracy. Jeśli potrzebujesz również znaleźć zakres zbioru danych, zobacz stronę Kalkulator miar zmienności. Kalkulator ten znajdzie wszystkie trzy miary zmienności, zakres, wariancję i odchylenie standardowe, i pokaże rozwiązanie krok po kroku.
Co to jest odchylenie standardowe?
Definicja odchylenia standardowego jest miarą „rozrzutu” wartości danych w zestawie danych. Rozrzut” odnosi się do tego, jak blisko lub daleko wartości danych są w porównaniu do średniej wartości zestawu danych. Wariancja jest kwadratem odchylenia standardowego. Zarówno wariancja jak i odchylenie standardowe są miarami zmienności.
Ten kalkulator odchylenia standardowego nie tylko daje Ci odpowiedź na Twój problem, ale również prowadzi Cię przez rozwiązanie krok po kroku.
Co oznacza duże odchylenie standardowe?
Zgodnie z definicją odchylenia standardowego, mierzy ono rozpiętość wartości danych od średniej. Jeśli jest duże odchylenie standardowe, to jest duży rozrzut wartości danych. Oznacza to, że wartości są bardziej rozłożone z dala od średniej. Sugeruje to dużą zmienność w zbiorze danych. Jeśli odchylenie standardowe jest małe, wartości danych w zbiorze danych są mniej rozproszone od średniej. To oznacza mniejszą zmienność i większą spójność.
Załóżmy, że zdajesz egzamin i odchylenie standardowe dla ocen klasy wynosi 5.0. W tym momencie nie możemy powiedzieć, czy twoja klasa była konsekwentna czy nie, ponieważ nie mamy z czym tego porównać. Teraz, twój kolega z innej klasy przystępuje do egzaminu i odchylenie standardowe dla ocen tej klasy wynosi 15.0. Kiedy porównamy te dwa odchylenia standardowe, okaże się, że w Twojej klasie jest więcej spójności i mniej zmienności. W klasie twojego przyjaciela jest mniejsza spójność i większa zmienność.
Jeśli używasz kalkulatora odchyleń standardowych do znalezienia odchyleń standardowych dwóch różnych zestawów danych, odchylenie standardowe, które jest mniejsze jest dla zestawu danych, który jest bardziej spójny, a odchylenie standardowe, które jest większe jest dla zestawu danych, który jest bardziej zmienny.
Przykład dochodu – porównanie dwóch miast
Załóżmy, że masz dwa zestawy danych składające się z dochodu rodziny. Pierwszy zbiór danych składa się z populacji dochodów rodzin w mieście „A”, a drugi zbiór danych składa się z populacji dochodów rodzin w mieście „B.” Miasto „A” i miasto „B” mają średnie dochody rodzin w wysokości 65 000 $. Do tej pory mamy:
Średnia miasta A:
µ = 65 000
Średnia miasta B:
µ = 65 000
Jeśli odchylenie standardowe dla zbioru danych o dochodach z miasta A wynosi $ 5 500.00 $, a odchylenie standardowe dla zbioru danych o dochodach z miasta B wynosi 2.100,00 $, to wiemy, że dochody w mieście A są bardziej oddalone od średniej, podczas gdy dochody w mieście B są bliższe lub skupione ciaśniej wokół średniej. Dochody w mieście A mają większą zmienność niż dochody w mieście B.
Symbol odchylenia standardowego
Symbolem odchylenia standardowego zbioru danych, który reprezentuje próbkę jest s. Symbolem odchylenia standardowego zbioru danych, który reprezentuje populację jest σ (małe greckie sigma). Mamy informacje o populacji zarówno dla miasta „A” jak i miasta „B”. Dlatego symbolem odchylenia standardowego dla obu są:
Odchylenie standardowe miasta A:
σ = $5,500
Odchylenie standardowe miasta B:
σ = $2,100
Odchylenie standardowe dla braku zmienności
Odchylenie standardowe jest zawsze liczbą dodatnią, ewentualnie 0. Załóżmy, że w mieście 'C’ każda rodzina ma taki sam dochód, $ 65,000 $. Chociaż realistycznie nie jest to możliwe, matematycznie oznaczałoby to, że średnia dla dochodów w mieście 'C’ wynosi 65 000 $, a odchylenie standardowe 0. Odchylenie standardowe równe 0 wskazuje, że zbiór danych nie ma w ogóle zmienności, a każda wartość danych w zbiorze danych jest dokładnie taka sama.
Spróbuj! Używając kalkulatora odchylenia standardowego, wprowadź następujące dane:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Zobaczysz, że odchylenie standardowe obliczy się na 0, a kroki rozwiązania pokażą ci, dlaczego wynosi ono 0.
Jednostki używane do odchylenia standardowego
Jednostki dla odchylenia standardowego są takie same jak jednostki dla wartości danych w zestawie danych. W naszym powyższym przykładzie wartości danych są dochodami w dolarach, dlatego odchylenie standardowe jest w dolarach.
Co to jest wariancja?
Powiązana z odchyleniem standardowym zbioru danych jest wariancja zbioru danych. Wariancja zbioru danych jest kwadratem odchylenia standardowego, a zatem jednostki wariancji są podniesione do kwadratu z jednostek odchylenia standardowego. Symbolem wariancji próbki jest s2, a symbolem wariancji populacji jest σ2. W naszym przykładzie powyżej, wariancje dla miasta A i miasta B są następujące:
wariancja miasta A:
σ2 = 30 250 000 $2
wariancja miasta B:
σ2 = 4 410 000 $2
Tak jak w przypadku obliczeń ręcznych, kalkulator odchylenia standardowego najpierw znajduje wariancję, a następnie pierwiastek kwadratowy, aby znaleźć odchylenie standardowe.
Zastosowanie wzorów na odchylenie standardowe i wariancję
Teraz, gdy znasz definicję odchylenia standardowego, czy chcesz się dowiedzieć, jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję? Możesz albo zastosować wzory na odchylenie standardowe i wariancję, albo możesz przewinąć w górę i użyć kalkulatora odchylenia standardowego online. W poniższym tutorialu pokażę Ci, jak ręcznie znaleźć odchylenie standardowe i wariancję za pomocą wzorów.
Czy chcesz wiedzieć, jak ręcznie znaleźć odchylenie standardowe lub wariancję zestawu danych? Następnie będziesz musiał użyć wzorów na wariancję i/lub odchylenie standardowe. Wzory te mogą wyglądać na skomplikowane, ale gdy są wykonywane w małych krokach, proces ich obliczania jest bardzo łatwy do opanowania. We wzorach tych używa się różnych symboli, w zależności od tego, czy zbiór danych reprezentuje populację czy próbkę.
Istnieją dwie wersje wzorów na wariancję i odchylenie standardowe, wzory standardowe i obliczeniowe. W tym artykule będę używał wzoru obliczeniowego. Jest on prostszy do ręcznego obliczenia i ma mniej błędów zaokrągleń. Jeśli chcesz zobaczyć rozwiązanie formuły standardowej, kalkulator odchylenia standardowego powyżej może pokazać Ci rozwiązania przy użyciu obu formuł.
Formuła wariancji populacji i formuła wariancji próbki
| Formuła wariancji populacji | Formuła wariancji próbki |
|---|---|
$$ {sigma^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{N}}{N}$$Gdzie $sigma^2$ jest symbolem wariancji populacji, |
$$ {s^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}}{n-1}$$Gdzie $s^2$ jest symbolem wariancji próby, |
Jest bardzo prosty krok między uzyskaniem wariancji, a następnie uzyskaniem odchylenia standardowego. Gdy masz już wariancję, po prostu weź pierwiastek kwadratowy, aby uzyskać odchylenie standardowe.
Populacyjna formuła odchylenia standardowego i przykładowa formuła odchylenia standardowego
| Populacyjna formuła odchylenia standardowego Wzór | Wzór na odchylenie standardowe próby |
|---|---|
$$ {{sigma}= \sqrt{frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{N}}{N}} $$gdzie $sigma$ jest symbolem odchylenia standardowego populacji, |
$$ {s}= \sqrt{ \frac{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}}{n – 1}}. $$Gdzie $s$ jest symbolem odchylenia standardowego próby, |
Przykład, jak znaleźć odchylenie standardowe i wariancję
Prześledźmy, jak znaleźć odchylenie standardowe i wariancję dla małego zbioru danych, biorąc pod uwagę, że zbiór danych reprezentuje próbkę wysokości dzieci. Po uzyskaniu wariancji, zrobimy mały krok, aby uzyskać odchylenie standardowe. Obliczymy nasze odpowiedzi wykonując serię 8 kroków.
Problem: Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla następujących danych. Załóżmy, że mamy próbę 5 dzieci, których wzrost wynosi:
56 cali, 49 cali, 61 cali, 60 cali, 63 cale
Krok 1 – Napisz wzory na wariancję próby i odchylenie standardowe próby
Ponieważ w problemie jest napisane, że 5 wartości reprezentuje próbę, użyjemy wzorów na wariancję próby i odchylenie standardowe próby. Zacznijmy od napisania wzorów obliczeniowych na wariancję i odchylenie standardowe próbki:
$$ {s^2}= ^frac{{suma}{x^2} – ^frac{({sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$
$$ {s^2}= ^qrt{{suma}{x^2} – ^frac{({sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$
Krok 2 – Utwórz tabelę dla wszystkich wartości $ x $ i $x^2$
Następnie narysuj tabelę składającą się z 2 kolumn i 5 wierszy dla każdej wartości danych oraz wiersz nagłówka. Oznacz wiersz nagłówka za pomocą $ x $ i $ x^2 $. Teraz umieść każdą z wartości danych w kolumnie $ x $. Każda wartość danych ma swój własny rząd. Skwadruj każdą wartość x w pierwszej kolumnie, a następnie umieść te wartości w drugiej kolumnie.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Krok 3 – Add up All The Values in the First Column
Po utworzeniu tabeli i kolumn, zsumuj wszystkie wartości w pierwszej kolumnie. Jest to symbolizowane jako $ \sum{x}$.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63$$
$$ \sum{x} = 289$$
Krok 4 – Kwadratowanie i dzielenie
Teraz weź odpowiedź z kroku 3, 289, i podnieś ją do kwadratu. Następnie podziel przez wielkość próby.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Krok 5 – Dodaj wszystkie wartości w drugiej kolumnie
Następnie, weź sumę wszystkich wartości w drugiej kolumnie. Jest to symbolizowane jako $ ∗sum{x^2} $.
$$ ∗ = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ ∗ = 16827$
Krok 6 – Odejmij $ ∗ – ∗frac{(∗x})^2}{n}$
W tym kroku, weźmiesz odpowiedź z kroku 5 i odejmiesz odpowiedź z kroku 4.
$$suma{x^2} – ^2}{n}$$
$$ 16827 – 16704.2 = 122.8$$
Krok 7 – Podziel i otrzymaj wariancję
W tym miejscu weź odpowiedź z kroku 6 i podziel przez $n – 1$, czyli o jeden mniej niż wielkość próby. To jest wariancja!
$$ {s^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}}{n-1}
= \frac{ 122,8 }{4} = 30.7 $$
Krok 8 – Jak znaleźć odchylenie standardowe z wariancji
Na koniec, aby znaleźć odchylenie standardowe, weź pierwiastek kwadratowy z odpowiedzi dla wariancji z kroku 7. Tutaj zaokrąglę odpowiedź do 4 miejsc po przecinku.
$$ s = qrt{30,7} = 5,5408$$
Ponieważ nasze dane są początkowo w jednostkach cali, odchylenie standardowe wynosi 5,5408 cala.
To wszystko! Nie jest tak źle, prawda? To świetny pomysł, aby użyć powyższego kalkulatora odchylenia standardowego, aby poprowadzić Cię do rozwiązania większej ilości problemów. Spróbuj ręcznie opracować rozwiązania na własną rękę i sprawdź swoją pracę w porównaniu z opracowanym rozwiązaniem z kalkulatora. You GOT this!