telescopeѲptics.net ▪ ▪ ▪ ▪▪▪▪▪▪▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ CONTEÚDO
◄2.1. Poder de recolha de luz ▐ 2.3. Ampliação do telescópio ►
PAGE HIGHLIGHTS
– Rayleigh, Dawes’ and diffraction resolution limit – Limite do pardal
– Telescopic stellar brightness and limiting resolution – Dark line resolution – Extended detail resolution
Resolução é outra função vital do telescópio. Simplificando, o limite de resolução do telescópio determina quão pequeno um detalhe pode ser resolvido na imagem que ele forma. Na ausência de aberrações, o que determina o limite de resolução é o efeito da difracção. Sendo sujeita às propriedades dos olhos (detector), a resolução varia com a forma, contraste, brilho e comprimento de onda do detalhe. O indicador convencional de poder de resolução – comumente chamado de limite de resolução da difração – é a separação mínima resolúvel de um par de imagens de ponto-objeto próximo, algo arbitrariamente estabelecido pela teoria das ondas em ~λ/D em radianos para luz incoerente, sendo λ o comprimento de onda da luz e D o diâmetro de abertura (expresso em segundos de arco, é 134/D para D em mm, ou 4,5/D para D em polegadas, ambos para comprimento de onda de 550nm).
Resolver fontes de dois pontos depende inevitavelmente da ampliação do telescópio. Para que as imagens de dois pontos de luz sejam totalmente resolvidas, elas precisam ser separadas por pelo menos um único fotorreceptor de retina não iluminado (presumivelmente cone, já que o limite de resolução das hastes é significativamente menor). Atingir quase 100% do limite de difração para fontes pontuais requer ampliações muito altas, mas o ganho em resolução é relativamente pequeno após cerca de 25x por polegada de abertura.
Embora não haja diferença em uma única fonte de imagem pontual entre luz coerente e incoerente com relação à distribuição de intensidade relativa – desde que a luz permaneça próxima à monocromática – o limite de resolução para um par de fontes pontuais para a primeira varia com a diferença de fase entre as duas fontes, de ~2λ/D com diferença de fase zero, a ~λ/D com diferença de fase π/2, e cerca de duas vezes melhor do que com a diferença de fase igual a π (i.e. λ/2), conforme mostrado no FIG. 12 à esquerda (de Optical Imaging and Aberrations 2, Mahajan). Como, segundo o teorema Van Cittert-Zernike, a luz que chega das estrelas é coerente em telescópios de tamanho amador, desde que seja quase monocromático, é interessante questionar o quanto esse fator de coerência, que muda com a largura de banda do comprimento de onda e a fonte OPD, influencia o limite de resolução real no campo.
O limite de resolução de difração ponto-fonte para luz incoerente, luz coerente com λ/4 OPD entre componentes e, talvez, casos específicos de luz parcialmente coerente, é dado por ~λF, sendo F o número da razão entre a distância focal e o diâmetro da abertura (F=ƒ/D, sendo ƒ a distância focal). É um produto de resolução angular e distância focal: λF=λƒ/D. Especificamente, este é o limite de resolução para duas imagens ponto-objecto de intensidade quase igual (FIG.12). O limite de resolução pode variar significativamente para duas fontes de intensidade desigual, assim como para outros tipos de objetos (FIG. 14-16).
FIGURA 12: ESQUERDA: O limite de difração para a resolução de duas imagens ponto-objeto em luz incoerente é aproximado quando os dois são de intensidade quase igual e ótima. À medida que as duas PSFmerge se aproximam, a intensidade profunda entre elas diminui. Na separação central da metade do diâmetro do disco Airy – 1.22λ/D radianos (138/D em segundos de arco, para λ=0.55μ e o diâmetro da abertura D em mm), conhecida como limite de Rayleigh – a profundidade está a quase 3/4 do pico de intensidade. A redução da separação para λ/D (113,4/D em segundos de arco para D em mm, ou 4,466/D para D em polegadas, ambos para λ=0,55μ) reduz a profundidade da intensidade para menos de 2% abaixo do pico. Este é o limite convencional de resolução de difração para fontes de dois pontos. Está logo abaixo do limite de resolução empírico de dupla estrela, conhecido como limite de Dawes, dado como 116/Dmm de arco segundos para estrelas brancas de m~5logD-5 magnitude visual para D em mm (m~5logD+2 para D em polegadas), quase idêntico ao limite de Largura Total a Meia-Máxima, ou FWHM da PSF, igual a 1.03λ/D. Com uma maior redução na separação, o contraste desaparece profundamente, e dois discos espúrios se fundem. A separação na qual a intensidade achata no topo é chamada de limite de Sparrow, dada por 107/D para D em mm.
DIREITA: A resolução de duas estrelas quase igualmente brilhantes em luz coerente em 1.22λ/D a separação angular varia com o OPD entre duas fontes pontuais. Na diferença do caminho zero, os dois padrões se fundem, formando os máximos centrais de 1,83λF em raio e 1,47 intensidade de pico. Em π/2 OPD o padrão combinado é idêntico ao da luz incoerente, e em OPD=π os dois máximos 1,11 são um pouco mais separados, com a intensidade profunda entre eles caindo para zero, os dois últimos indicando uma resolução limitadora significativamente melhor. Note que para um dado fluxo de ondas x, amplitudes de onda A individuais para luz coerente são primeiro adicionadas e depois ao quadrado, como (xA)2, enquanto ao quadrado e depois adicionadas para luz incoerente como xA2, a fim de obter sua intensidade combinada. Isso torna a intensidade real da imagem de luz coerente para uma dada amplitude maior por um fator de x do que em luz incoerente, e sua mudança proporcional a x2, e não x,
Intensidades de pico das imagens de dois pontos-objeto em FIG. 12 permanecem inalteradas na separação central de 1,22λ/D, e maiores. Em separações menores (dentro do limite de Rayleigh), as duas intensidades de pico começam a aumentar, a princípio lentamente, depois bastante rápido, com a intensidade combinada dobrando à medida que os dois centros se fundem.
A separação em que a PSF combinada achata no topo ocorre na separação central 107/D em segundos de arco, para D em mm (4,2/D para D em polegadas). É o chamado limite de Sparrow, permitindo a detecção de duplas de fechamento com base no alongamento visual do ponto central brilhante do padrão de difração. Para separações mais próximas, a intensidade de pico do padrão combinado forma-se no ponto médio entre duas imagens de ponto-objeto Gaussiano.
As parcelas PSF acima são para a intensidade nominal (normalizada). Embora seja uma forma bastante comum de ilustrar a resolução ponto-fonte, a resposta do olho humano à intensidade da luz é principalmente logarítmica, portanto melhor ilustrada com a FSP logarítmica. Por exemplo, a diferença de intensidade entre o pico central e o segundo máximo na abertura livre de aberrações é de 57 para 1, respectivamente; o olho, entretanto, vê o pico como menos de duas vezes mais brilhante (isto se aplica quando ambos estão bem dentro do limiar de detecção do olho; como o primeiro anel brilhante mais fraco se aproxima do limiar de detecção e cai abaixo dele, o diferencial de intensidade percebido aumenta dramaticamente). O gráfico abaixo (FIG. 13) mostra a FPS logarítmica (log10) para luz policromática (no intervalo de 1/10 do comprimento de onda médio, inset H), mais próxima da FPS de uma estrela real do que a FPS monocromática.
FIGURA 13: A PSF logarítmica de abertura livre de aberrações na escala de magnitude (estelar) mostra a distribuição de intensidade dentro da imagem estelar mais próxima daquela realmente percebida pelo olho humano (ou seja, as escalas de intensidade aparente inversamente com a magnitude). Passando da estrela de magnitude zero à magnitude 15, não há indicação de que o tamanho visual dos máximos centrais difira consideravelmente entre estrelas brilhantes versus médias e estrelas moderadamente fracas (isto negligencia possíveis – e prováveis – efeitos fisiológicos secundários sobre a retina, particularmente com fontes muito brilhantes). Apenas quando a periferia dos máximos centrais começa a ficar abaixo do limiar de detecção, o seu tamanho visível diminui. Para a resolução teórica máxima de duas fontes pontuais, definida em λ/D em radianos (206,265λ/D em segundos de arco), o disco central visível não pode ser significativamente maior que λ/D angularmente (ilustrado para a estrela de magnitude zero, por conveniência). Discos moderadamente maiores ainda devem permitir uma resolução clara, devido à baixa formação de intensidade entre duas imagens estelares, sendo que os discos provavelmente aparecem menos do que perfeitamente redondos. O gráfico acima implica que ele ocorreria no limiar de detecção, aproximadamente duas magnitudes abaixo da intensidade do pico. Isto não está longe da base relatada no estabelecimento do limite de resolução empírica pelo Rev. William Rutter Dawes: quase pares igualmente brilhantes cerca de três magnitudes mais brilhantes do que a estrela mais fraca detectável com a abertura testada (Sky Catalogue 2000.0, Hirshfeld/Sinnott, p.xi). De acordo com ele, a resolução limite só é possível na ausência da estrutura do anel visível (nível de aberração típico, ou obstrução central média, ilumina o 1º anel brilhante inferior a uma magnitude – como ilustrado emFIG. 95 – que equivale a ~2mm de diferença de altura no gráfico acima).
Como mencionado, este limite se aplica a imagens de ponto-objeto quase igualmente brilhante e contrastante no nível de intensidade ideal. O limite de resolução para pares de estrelas de brilho desigual, ou aqueles significativamente acima ou abaixo do nível de intensidade ideal é menor. Para outras formas de imagem, o limite de resolução também pode e se desvia significativamente, tanto acima como abaixo do limite convencional. Um exemplo é uma linha escura sobre fundo claro, cuja imagem difractiva é definida com as imagens das duas bordas brilhantes que a envolvem. Estas imagens são definidas com a Função de Difracção de Borda (ESF), cuja configuração difere significativamente da PSF (FIG. 14). Com sua queda de intensidade dentro da seqüência principal sendo, por outro lado, bastante semelhante à da PSF, a resolução deste tipo de detalhe é mais limitada pela sensibilidade do detector, do que pela difração (no sentido de que o diferencial de intensidade para o ponto médio entre as imagens Gaussianas das bordas vs. picos de intensidade, forma um diferencial de contraste não nulo para qualquer separação de bordas finitas).
FIGURA 14: O limite de resolução da difração varia significativamente com a forma objeto/detalhe. Imagem de uma linha escura sobre fundo brilhante é uma conjunção de imagens de difração das duas bordas brilhantes, descritas pela Função de Espalhamento de Borda (ESF). Como mostra a ilustração, o intervalo entre dois perfis de intensidade em λ/D separação é muito maior para o ESF do que PSF (que é quase idêntico à Função de Espalhamento de Linha, determinando a resolução limite do MTF). Implica uma resolução limite consideravelmente melhor do que λ/D, que concorda com observações práticas (divisão Cassini, rilles lunares, etc.). A queda gradual de intensidade no topo da curva de intensidade em torno das bordas pode produzir características muito sutis de baixo contraste, mesmo que a própria separação permaneça invisível.
A imagem difractiva de uma fonte pontual na superfície dos objectos mais estendidos só poderia ser detectada se separada do resto da superfície, não por ser pequena e relativamente fraca, mas porque é tipicamente de intensidade muito mais baixa do que a da superfície. Por exemplo, o brilho médio total de Júpiter é como se tivesse uma estrela de ~6ª magnitude em cada segundo de arco quadrado da sua superfície. 1 segundo de arco quadrado é uma área emissora como uma fonte pontual válida? Pode ser, mas realmente depende do tamanho da abertura. O cálculo da difração (Imagem e aberrações 2, Mahajan) mostra que o disco incoerente emissor de luz – ou um furo – menor que ~1/4 do disco Airy, não produz PSF sensivelmente diferente da fonte pontual perfeita (FIG. 14). Com o diâmetro angular do disco Airy dado por 2.44λ/D em radianos (multiplicado por 206.265 para segundos de arco), que define o diâmetro máximo do disco (furo) que se qualifica como fonte pontual em ~0.44λ/D, ou menor, em radianos, ~125,44λ/D, ou menor, em segundos de arco (o tamanho linear correspondente é determinado diretamente pela sua distância, como produto da distância e seu tamanho angular em radianos).
Consequentemente, a imagem difractiva de uma superfície alargada pode ser avaliada como um produto de pontos de superfície não superiores a 1/4 do diâmetro do disco Airy (uma maior divisão deste ponto-fonte eficaz em determinada luminância de superfície apenas diminui os máximos reais de PSF dessa unidade de superfície, mas as suas características espaciais não se alteram sensivelmente em relação ao ponto 1/4 Airy do disco, nem o volume de PSF integrado sobre uma área de ponto 1/4 Airy do disco difere sensivelmente de um produzido por esse ponto). Em termos de segundos de arco quadrado, a área correspondente ao ponto 125,000λ/D de diâmetro é para o lado quadrado menor por um fator de π/4, assim dado por 99,000λ/D. Para λ=0,00055mm (pico fotópico), isso daria 0,54 segundo de arco quadrado (ou seja, quadrado com um lado de 0,54 segundo de arco) para uma abertura de 100mm, 0,27 segundos de arco para 200mm, e assim por diante.
FIGURA 15: Um objecto não tem de ser estritamente um ponto-fonte para produzir uma FPS ponto-fonte, mas se as suas dimensões angulares excederem um determinado nível, a sua difracção máxima central alarga-se, e transforma-se numa imagem de objecto estendida. ESQUERDA: Alteração na distribuição da intensidade radial à medida que a área emissora aumenta de zero (fonte pontual) para um disco 2λF em raio. No raio do disco igual a λF/4, ou 1/5 do raio do disco Airy, a FPS resultante é apenas ligeiramente mais larga do que a de uma fonte pontual, portanto uma área emissora circular desse tamanho, ou menor, pode ser considerada uma fonte pontual em relação à sua imagem difractiva. DIREITA: Mudança na intensidade central com o aumento do desfocus axial. Quanto maior o raio do disco, menos sensível ao desfocus é a intensidade central da sua imagem. Enquanto cai a zero já em 1 desfocus de onda para um disco (furo) de raio igual a λF/4, permanece acima de zero além de 4 desfocus de onda já em um disco de raio igual a λF, ligeiramente menor que o do disco Airy. Note que as intensidades centrais em ambos os gráficos são todas normalizadas para 1, mas a intensidade de pico real varia com o tamanho do disco. Com a luminância constante da superfície do disco, os picos reais de difração para 0,25, 0,5, 1 e 2 raios, normalizados para o mais alto, se relacionariam como 0,15, 0,88, 0,97 e 1, respectivamente.
Imagem de difração de fonte pontual não similar, onde não há diferença apreciável na forma da FPS normalizada para luz coerente e incoerente, uma imagem de objeto estendida em luz coerente desenvolve picos isolados sobre seus máximos centrais, sendo o mais forte em sua borda. Isto resulta no efeito chamado “anel de borda”, tornando a integridade da imagem inferior à da luz incoerente.
A superfície de um objeto estendido pode ser decomposta em fontes pontuais, que se sobrepõem e crescem em uma imagem difrativa maior da mesma. Qualquer área distinta em tal superfície também pode ser decomposta em suas fontes pontuais efetivas. Se tal área – um detalhe de superfície – será visível na imagem telescópica depende dos múltiplos factores: o seu tamanho, brilho e contraste e, se as cores estiverem presentes, a especificidade da tonalidade e a saturação.
De facto, as aberrações ópticas também podem ter um efeito significativo na distribuição de intensidade, imagem vs. objecto, dispersão de energia e diminuição do contraste/resolução. Enquanto as aberrações aqui causam o mesmo efeito geral, as específicas são diferentes daquelas de fonte pontual (FIG. 16).
FIGURA 16: Distribuição de intensidade radial dentro da imagem de difração do disco incoerente, com o raio 2,3 vezes o raio do disco Airy com desfocus zero (preto sólido) e quantidades especificadas da aberração. Até 1/4 onda P-V de desfocus tem efeito negligenciável em ambos, intensidade central e energia perdida para os máximos centrais, e até 1/2 onda só baixa a intensidade central desses máximos para 0,91. Uma onda de desfocagem, que leva a intensidade central da FPS a zero, ainda está aqui um pouco abaixo de 0,5. No entanto, o valor numérico da intensidade central aqui não tem as mesmas implicações que com a FPS. Enquanto neste último se aproxima bastante da energia relativa preservada nos máximos – implicando assim directamente a perda relativa de energia – aqui é geralmente optimista a esse respeito. A razão é a forma diferente com que a aberração afecta a forma dos máximos centrais: como a sua energia é proporcional ao seu volume, o volume aberrado remodelado que, ao contrário dos máximos da FPS, perde relativamente mais energia fora dos lados do que fora do topo dos máximos centrais aberrados, causa uma disparidade significativa entre a queda nominal relativa dos máximos centrais e a perda relativa de energia. Em geral, esta última é significativamente mais elevada. Assim, por exemplo, enquanto a queda nos máximos centrais para 1/4 e 1/2 onda P-V de desfocagem é de 2% e 9%, a correspondente perda de energia está – muito aproximadamente – mais próxima de 10% e 30%, respectivamente. Ao mesmo tempo, a alteração no tamanho relativo do FWHM para estes níveis de erro, semelhante ao PSF, permanece insignificante.
Se o efeito das aberrações na imagem de difração de um objeto estendido é muito menor, como as aberrações nesta faixa, bastante comuns em telescópios, infligem perda perceptível ao contraste de detalhes estendidos? Bem, elas não infligem; não neste nível de tamanho de detalhe. Com o raio de imagem Gaussiano de 2.3λF, este disco é quase 4,5 vezes mais largo do que a frequência de corte do MTF (1.03λF), o que coloca a correspondente frequência normalizada do MTF em 0,22. Assim, é no domínio das baixas frequências que a queda do contraste causada pelas aberrações é geralmente menor (FIG. 17).
FIGURA 17: Traçados de MTF policromáticos (fotópicos) à esquerda mostrando o efeito do desfocus na transferência de contraste e, para comparação, o seu efeito no CTF (à direita). O MTF de onda sinusoidal (padrão) tem geralmente menor transferência de contraste do que o TCF de onda quadrada, com o desfocus no primeiro baixando o contraste vs. imagem livre de aberrações a 0,22 freqüência 14% a 1/4 ondaP-V, e 39% a 1/2 onda. Isso se compara a 19% e 56% de perda de contraste, respectivamente, em média em toda a gama de freqüências. Com o CTF de onda quadrada, a perda de contraste correspondente é de 14% e 40%, respectivamente.
Both MTF e CTF dão perda de contraste com este tamanho de detalhe maior do que a estimativa grosseira da perda de energia/contraste com base na distribuição de energia radial. A diferença é relativamente modesta a 1/4 de onda de desfocagem, 14% vs. ~10%, e mais ambivalente a 1/2 onda: 56% e 40% vs. ~30% para o MTF e CTF, respectivamente. Mas é de se esperar, já que nenhum deles é diretamente comparável na forma a um disco coerente (com erro de desfocus de 1/2 onda, a diferença de transferência de contraste entre os dois é até ligeiramente maior do que entre o CTF e o disco).
E nenhum dos dois MTFs nem, aliás, disco incoerente sobre fundo escuro, são uma forma de detalhe semelhante a, digamos, um detalhe planetário típico. Tal detalhe está embutido no entorno de detalhes adjacentes de intensidade semelhante. O nível da sua detecção depende tanto – se não mais – da distinção da cor, como do diferencial de intensidade (contraste). O fator de cor é totalmente negligenciado pelo MTF. Se dois objetos da mesma intensidade forem colocados em contato um com o outro, sua imagem apresentará uma superfície contínua e única, simplesmente porque não há descontinuidade na emissão de ondas. Mas se estas superfícies emitem em diferentes comprimentos de onda principais, o olho irá criar distinção atribuindo-lhes cores diferentes. Em outras palavras, a cor produz qualidade de contraste, o que pode melhorar a detecção/resolução para qualquer nível de contraste inerente à imagem, incluindo zero.
Se, no entanto, assumirmos que tais detalhes estendidos não estão perfeitamente ligados ao seu ambiente, e/ou variam em suas intensidades relativas – o cenário mais provável – então há descontinuidade de emissão de ondas entre eles, e suas imagens difrativas, pelo menos na primeira aproximação, sobrepondo a formação da imagem final complexa. Entre dois detalhes muito próximos de intensidade semelhante – como ilustrado no FIG. 10C superior direito, a energia combinada irá provavelmente preencher a maior parte da lacuna entre suas respectivas imagens individuais, deixando apenas uma área de transição estreita, de muito baixo contraste, pouco provável de ser detectada. A detecção de tais detalhes dependeria inteiramente de sua distinção de cor; quanto mais baixa for, mais cedo será afetada pela propagação de energia causada por aberrações, mas o grau em que será afetada também depende criticamente do tamanho angular dos detalhes.
Se a intensidade relativa dos detalhes for significativamente diferente, o contraste também se torna um fator significativo (FIG. 10C, inferior direito). Tais detalhes são mais típicos da superfície da Lua. Devido ao seu nível de contraste relativamente alto, eles serão menos afetados pelo derramamento de energia aberrada. Novamente, o seu tamanho angular é o principal determinante do efeito de qualquer nível de aberração na sua detecção.
Este, obviamente, apenas risca a superfície da relação entre a qualidade da imagem dos detalhes estendidos e as aberrações. Mas este conceito muito básico lança mais luz sobre este assunto bastante obscuro. Em geral, a abertura maior resolverá mais, porque seu ponto-fonte efetivo (que também pode ser visto como pixel de imagem) é, como mencionado, inversamente proporcional ao tamanho da abertura. Além disso, terá uma melhor saturação de cor. O fator de brilho é um tanto ambivalente, já que pode ser benéfico e prejudicial. É geralmente benéfico na detecção de fontes pontuais e semelhantes, assim como de objetos fracos de todos os tipos. Pode ser desvantajoso para a resolução de detalhes de pontos brilhantes e objetos estendidos. Entretanto, como a transmissão de luz do telescópio pode ser facilmente reduzida em qualquer abertura, esse prejuízo é de natureza bastante formal.
Generalmente, o tamanho do menor detalhe detectável na superfície de um objeto estendido é aproximadamente proporcional ao limite de resolução de difração nominal (ponto-objeto) do telescópio e ao poder de coleta de luz, mas também é significativamente menor, variando com o tipo de detalhe e com o entorno. Para os detalhes típicos de baixo contraste brilhante (planetas principais), e detalhes de baixo contraste escuro (a maioria das nebulosas e galáxias), a análise MTF de Rutten e Venrooij (Telescope Optics, p215) indica o limite de resolução MTF mais baixo aproximadamente por um fator de ~2 e ~7, respectivamente, do que para o padrão de contraste brilhante (que é praticamente idêntico ao limite de resolução estelar nominal do telescópio).
As premissas formais e os resultados experimentais sobre o tema da resolução do telescópio são abordados em detalhe no Amateur Astronomer’s Handbook, J.B. Sidgwick (p37-51). Naturalmente, a resolução em geral irá deteriorar-se com a introdução de aberrações na frente das ondas.
◄ 2.1. Poder de recolha de luz ▐ 2.3. Ampliação do telescópio ►