Fórmulas de cálculo de densidades e Enthalpies de vapor saturado de curta duração

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Este post apresenta um conjunto de pequenas fórmulas úteis para o cálculo direto de densidades de vapor saturado e entalpias (conteúdo térmico) e fatores de compressibilidade com como entrada a pressão e temperatura de operação. Este conjunto de três fórmulas cobre uma ampla gama de condições de vapor saturado, mas produz resultados precisos. Os cálculos podem ser realizados rapidamente em uma calculadora manual ou convenientemente inseridos em uma planilha de Excel. Este pequeno posto está dividido em três partes.

Parte I três úteis fórmulas para densidade, entalpia e fator de compressibilidade para vapor saturado. As representações gráficas são dadas para demonstrar os resultados dos seus cálculos. Parte II um exemplo numérico do uso destas equações. Parte III, a base para estas três pequenas equações. Uma versão pdf deste post é dada no final deste post.

Parte I Três fórmulas úteis para vapor saturado. Note que estas fórmulas são mostradas na notação de estilo ‘excel’: usando para multiplicar o símbolo ‘ * ‘ e para elevar à potência ‘ ^ ‘.

A densidade da fórmula de vapor saturado.

Dst = 216.49 * P / ( Zst * ( t + 273) )

Em que ‘Dst’ = densidade do vapor saturado em kg/m3 ; e ‘P’ = a pressão absoluta do vapor em Bar ; e ‘t’ = a temperatura em graus Celsius ; e ‘Zst’ = fator de compressibilidade do vapor saturado em ‘P’ Bar abs e ‘t’ graus Celsius. O erro percentual médio geral é 0,10 %.

A fórmula Enthalpy do vapor saturado.

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273)

Na qual a equação ‘Hst’ representa a Enthalpy do vapor saturado em kJ/kg ;o símbolo ‘t’ para a temperatura em graus Celsius ; e ‘Zst’ para o fator de compressibilidade à pressão ‘P’ e temperatura ‘t’. Esta útil equação é válida para temperaturas entre 10 e 350 graus Celsius e tem resultados com um erro percentual de 0,10 %.

O Fator de Compressibilidade ‘Zst’ da fórmula vapor saturado.

Zst = 1- 0,024 * P^0,654 / ( 220-P )^0,08

Nesta equação o símbolo ‘Zst’ representa o fator de compressibilidade do vapor saturado à ‘P’ Bar absoluto. Esta útil equação é válida para uma faixa de pressão de vapor de 0,012 a 165 Bar absoluto, com a correspondente faixa de temperatura de saturação de 10 a 360 graus Celsius. Suas previsões têm um erro percentual médio geral de 0,10 %.

Resultados de cálculo mostrados no Gráfico.

Os resultados do cálculo da prática fórmula curta para Densidade do vapor saturado são mostrados no Gráfico seguinte (diamantes azuis) e comparados com os dados das Tabelas de Vapor (quadrados roxos). Clique no gráfico para ampliar:

No gráfico seguinte, os resultados do cálculo da prática fórmula curta para Enthalpy de vapor saturado é mostrado como diamantes azuis e comparado com os dados das Tabelas de Vapor (quadrados púrpura). Clique no gráfico para ampliar:

Nos gráficos seguintes o fator de Compressibilidade ‘Zst’ para vapor saturado é grapado (diamantes azuis) como calculado com a prática fórmula curta e comparado com os fatores Z obtidos pelo cálculo posterior dos dados das Tabelas de Vapor (quadrados púrpura). Clique no Gráfico para ampliar:

O Gráfico seguinte mostra os mesmos dados do fator ‘Zst’ e agora plotado contra uma escala logarítmica com a pressão como variável:

Interesting é o último gráfico de ‘Zst’ onde novamente os resultados do fator de compressibilidade calculado são grapados e agora plotados contra a temperatura de saturação correspondente (clique para ampliar):

Parte II Um exemplo numérico.

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Uma cabeça de vapor transporta vapor de pressão média a um nível de pressão de 33,5 Bar absoluto (!) Uma tubulação conectada leva o vapor através de uma estação de superaquecimento com injeção controlada de condensado para chegar a uma temperatura de saturação de 240 graus Celsius. Qual é a densidade e o conteúdo de calor (entalpia) deste vapor ?

Calcule primeiro o fator de compressibilidade do vapor sob estas condições:

Zst = 1- 0.024 * (33,5)^0,654 / ( 220-33,5 )^0,08

este rendimento Zst = 0,843 Em seguida, com este valor para Zst podemos calcular a Densidade do vapor como:

Dst = 216,49 * 33,5 / ( 0.843 * ( 240 + 273) )

Dst = 16,77 kg/m3 ; O valor tabelado é 16,74 kg/m3 ( Grigull et al)

E depois a Enthalpy é calculada como:

Hst = 1975 +1.914 * 0,843 * (240 + 273)

a Hst =2801,7 kJ/kg; O valor das Tabelas de Vapor é 2803 kJ/kg.

Base da Parte III para estas três pequenas fórmulas.

a) Densidade. A origem da fórmula de densidade na Parte I é derivada diretamente da Lei Universal do Gás. Para uma quantidade de ‘n’ quilomol de um gás real em um volume de ‘V’ m3 a uma pressão de ‘P’ kN/m2 e a uma temperatura absoluta de ‘T’ graus Kelvin ‘A Lei Universal do Gás’ diz:

P * V = n * Z * R * T

em que ‘Z’ é o fator de compressibilidade e ‘R’ é a Constante Universal do Gás igual a 8,3145 com unidades de kJoule /kmol /oK. Neste ponto vamos fazer uma verificação rápida da consistência das unidades utilizadas aqui.

kN/m2 * m3 = kmol * kJoule /kmol/oK * oK Note que 1 kN/m2 = 1 kPascal e 100 kPa = 1 Bar absoluto e também note que 1 Joule = 1 Nm.

A densidade molar ‘D’ pode ser expressa (em unidades de kmol/m3 ) como:

n/V = Dmol = P / (Z * R *T)

A densidade de (qualquer) gás com Peso Molecular ‘MW’ então lê:

D = P * 100 * MW / ( Z * R * T) kg/m3 se ‘P’ expresso em unidades de ‘Bar’ absoluto

Aplicação ao Vapor obter : Dst = P * 100 * 18 / ( Z * 8,3145 * T)

ou Dst = 216,49 * P / (Z * T) se ‘P’ em Bar e ‘T’ em graus Kelvin.

b) Enthalpy. Mencionado num post anterior descobri que a entalpia do vapor saturado pode ser calculada a partir de uma fórmula muito simples (ver discussão no post anterior datado de 1 de Julho de 2013 ). Essa equação simples diz: H = Uo + 4*Z*R*T no qual o símbolo ‘H’ significa entalpia molar e ‘Uo’ é uma constante em kJ/kmol. Se ZRT é substituído por P*V exceto pelo fator 4, reconhece-se a definição de entalpia. O fator ‘4’ pode ser interpretado como um tipo de média, capacidade térmica específica constante de vapor de água, etc. (ver post anterior). Agora é um fato que o vapor de água em toda a faixa de 273 a 647 oK a capacidade de calor específico do vapor está mudando apenas cerca de 6%, ou seja, de 1,85 a 2.05 kJ/kg/oK

Quando expresso em base de massa em vez de base molar a equação diz:

Hst= Uo +4 * R / MW * Z * R * T kJ/kg

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273) kJ/kg

c) Fator de Compressibilidade. Descobri que sob condições de saturação um fator de compressibilidade do vapor pode ser representado pela seguinte forma geral:

(1-Z ) / (1-Zc) = A * Pr^n / (1-Pr)^m

Em que ‘Zc’ é o fator crítico de compressibilidade, ‘Pr’ a pressão de saturação reduzida e ‘A’ é uma constante e ‘n’ e ‘m’ são expoentes para uma determinada substância.

Por exemplo no post de 30 de Outubro de 2014 para o Metano puro (‘C1’) mostrei que esta equação assume a seguinte forma particular :

Zsat,C1 = 1 – (1-0,2856) * 0,666 * Pr^0,666 / (1-Pr)^0,088

Esta correlação reproduz com precisão o factor de compressibilidade de vapor saturado medido do Metano com um erro percentual relativo médio global de: 0,1% sobre a faixa de pressão de 0,22 a 42,4 Bar absoluto, e é a correspondente faixa de temperatura de saturação de -177 graus a -85,2 graus Celsius , cobrindo toda a faixa de saturação entre o ponto triplo e o ponto crítico do Metano puro!

Para vapor saturado obtemos:

Zst = 1 – (1-0.229) * 0.687 * Pr^0.654 / (1-Pr)^0.08

que com Pc = 220 Bar absoluto simplifica a: