Innehållsförteckning
Användning av beräkningsinstrumentet för standardavvikelse
Räkningsinstrumentet för standardavvikelse ovan erbjuder ett enkelt sätt att både beräkna och lära sig hur man hittar standardavvikelsen för en uppsättning tal. Bättre än någon standardkalkylator ger den här kalkylatorn en steg för steg-lösning för hur du hittar svaret på egen hand. Denna kalkylator för standardavvikelse är ett utmärkt pedagogiskt verktyg för att vägleda dig till att få fram rätt svar i ditt eget arbete. Om du också behöver hitta intervallet för en datamängd, se sidan Kalkylator för variabilitetsmått. Den kalkylatorn hittar alla tre mått på variabilitet, intervallet, variansen och standardavvikelsen, och visar dig en stegvis lösning.
Vad är standardavvikelsen?
Definitionen av standardavvikelsen är ett mått på ”spridningen” av datavärdena inom datamängden. ”Spridningen” avser hur nära eller långt bort datavärdena är jämfört med datamängdens medelvärde. Variansen är kvadraten på standardavvikelsen. Både variansen och standardavvikelsen är mått på variabilitet.
Denna standardavvikelsekalkylator ger dig inte bara ett svar på ditt problem, utan guidar dig också genom en stegvis lösning.
Vad innebär en stor standardavvikelse?
Enligt standardavvikelsens definition mäter den spridningen av datavärden från medelvärdet. Om det finns en stor standardavvikelse finns det en stor spridning av datavärden. Det innebär att värdena är mer utspridda långt från medelvärdet. Detta innebär en stor variabilitet i datamängden. Om standardavvikelsen är liten är datavärdena i en datamängd mindre spridda från medelvärdet. Detta innebär mindre variabilitet och mer konsistens.
Antag att du gör ett prov och standardavvikelsen för klassens betyg är 5,0. Vid denna tidpunkt kan vi inte riktigt säga om din klass presterade konsekvent eller inte, eftersom vi inte har något att jämföra med. Nu tar din vän i en annan klass ett prov och standardavvikelsen för dessa klassbetyg är 15,0. När vi jämför de två standardavvikelserna är det mer konsekvent och mindre varierande i din klass. Det finns mindre konsistens och mer variabilitet i din väns klass.
Om du använder standardavvikelsekalkylatorn för att hitta standardavvikelserna för två olika datamängder är den standardavvikelse som är mindre för den datamängd som är mer konsistent, och den standardavvikelse som är större för den datamängd som är mer varierande.
Exempel på inkomst – att jämföra två städer
Antag att du har två datamängder som består av familjeinkomst. Den första datamängden består av populationen av familjeinkomster i staden ”A” och den andra datamängden består av populationen av familjeinkomster i staden ”B”. Stad ”A” och stad ”B” har båda en genomsnittlig familjeinkomst på 65 000 dollar. Hittills har vi:
Stad A medelvärde:
µ = 65 000
Stad B medelvärde:
µ = 65 000
Om standardavvikelsen för datamängden med inkomster från stad A är $ \$ 5 500.00 $, och standardavvikelsen för datamängden med inkomster från stad B är $ \$ 2 100.00 $, så vet vi att inkomsterna i stad A är utspridda längre bort från medelvärdet, medan inkomsterna i stad B ligger närmare, eller är tätare grupperade, runt medelvärdet. Inkomsterna i stad A har större variabilitet än inkomsterna i stad B.
Symbol för standardavvikelsen
Symbolen för standardavvikelsen för en datamängd som representerar ett urval är s. Symbolen för standardavvikelsen för en datamängd som representerar populationen är σ (liten grekisk sigma). Vi har befolkningsinformation för både stad ”A” och stad ”B”. Därför är symbolen för standardavvikelsen för båda:
Stad A standardavvikelse:
σ = 5 500 dollar
Stad B standardavvikelse:
σ = 2 100 dollar
Standardavvikelse för ingen variation
En standardavvikelse är alltid ett positivt tal, eller möjligen 0. Anta att i stad ”C” har varje familj samma inkomst, $ \$ 65 000 $. Även om detta realistiskt sett inte är möjligt, skulle det matematiskt sett innebära att medelvärdet för inkomsterna i stad ”C” är $ \$ 65 000 $ och standardavvikelsen är 0. En standardavvikelse på 0 innebär att en datamängd inte har någon variabilitet alls, och att varje värde i datamängden är exakt detsamma.
Prova det! Använd standardavvikelsekalkylatorn och skriv in följande:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Du kommer att se att standardavvikelsen kommer att beräknas till 0, och stegen för lösningen kommer att visa varför den är 0.
Enheter som används för standardavvikelsen
Enheterna för standardavvikelsen är desamma som enheterna för datavärdena i datamängden. I vårt exempel ovan är datavärdena inkomster i dollar, därför är standardavvikelsen i dollar.
Vad är variansen?
I samband med standardavvikelsen för en datamängd finns variansen för en datamängd. Variansen för en datamängd är kvadraten på standardavvikelsen, och därför är enheterna för variansen kvadrerade från enheterna för standardavvikelsen. Symbolen för urvalets varians är s2 och symbolen för populationens varians är σ2. I vårt exempel ovan är varianserna för stad A och stad B:
Stad A varians:
σ2 = 30 250 000 $2
Stad B varians:
σ2 = 4 410 000 $2
Samma som du skulle göra manuellt finner standardavvikelsekalkylatorn först variansen och tar sedan kvadratroten för att finna standardavvikelsen.
Använda formlerna för standardavvikelse och varians
När du nu känner till definitionen av standardavvikelse, vill du lära dig hur man beräknar standardavvikelse och varians? Du kan antingen tillämpa formlerna för standardavvikelse och varians, eller så kan du bläddra upp och använda standardavvikelsekalkylatorn online. I handledningen nedan visar jag dig hur du hittar standardavvikelsen och variansen för hand med hjälp av formler.
Vill du veta hur du hittar standardavvikelsen eller variansen för en datamängd manuellt? Då måste du använda formlerna för varians och/eller standardavvikelse. Dessa formler kan se komplexa ut, men när de tas i små steg är processen för att beräkna dem mycket hanterbar. Formlerna använder olika symboler beroende på om datamängden representerar en population eller ett urval.
Det finns två versioner av varians- och standardavvikelseformlerna, standard- och beräkningsformlerna. Jag kommer att använda beräkningsformeln i den här artikeln. Den är enklare att beräkna för hand och har mindre avrundningsfel. Om du vill se lösningen med standardformeln kan du i beräkningsverktyget för standardavvikelse ovan se lösningar med båda formlerna.
Formel för populationsvarians och formel för stickprovsvarians
| Formel för populationsvarians | Formel för stickprovsvarians |
|---|---|
$$$ {\sigma^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}$$$Varvid $\sigma^2$ är symbolen för populationsvarians, |
$$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n-1}$$$Varvid $s^2$ är symbolen för urvalets varians, |
Det finns ett mycket enkelt steg mellan att få fram variansen och sedan få fram standardavvikelsen. När du har variansen är det bara att ta kvadratroten för att få standardavvikelsen.
Formeln för befolkningens standardavvikelse och formeln för provets standardavvikelse
| Populationens standardavvikelse. Formel | Stickprovets standardavvikelseformel |
|---|---|
$$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}{N}}} $$Varvid $\sigma$ är symbolen för populationens standardavvikelse, |
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$Varvid $s$ är symbolen för urvalets standardavvikelse, |
Exempel på hur man hittar standardavvikelsen och variansen
Låt oss gå igenom hur man hittar standardavvikelsen och variansen för en liten datamängd, givet att datamängden representerar ett urval av barnens längd. När vi har fått fram variansen tar vi sedan ett litet steg för att få fram standardavvikelsen. Vi kommer att beräkna våra svar genom att genomföra en serie på 8 steg.
Problemet: Hitta variansen och standardavvikelsen för följande. Anta att du har ett urval av 5 barn och att deras höjder är:
56 tum, 49 tum, 61 tum, 60 tum, 63 tum
Steg 1 – Skriv formlerna för urvalets varians och urvalets standardavvikelse
Då det i detta problem står att de 5 värdena representerar ett urval, kommer vi att använda formlerna för urvalets varians och urvalets standardavvikelse. Börja först med att skriva beräkningsformlerna för samplets varians och samplets standardavvikelse:
$$$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$$
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}}} $$
Steg 2 – Skapa en tabell för alla värden av $ x $ och $x^2$
Nästan ska du rita en tabell med 2 kolumner och 5 rader för varje datavärde samt en rubrikrad. Märk rubrikraden med $ x $ och $ x^2 $. Placera nu vart och ett av datavärdena i kolumnen $ x $. Varje datavärde har en egen rad. Kvadrera varje värde på x i den första kolumnen och placera dessa värden i den andra kolumnen.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Steg 3 – Addera alla värden i den första kolumnen
När tabellen och kolumnerna är skapade, tar du summan av alla värden i den första kolumnen. Detta symboliseras som $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$ \sum{x} = 289 $$
Steg 4 – Kvadrera och dela
Nu tar du svaret från steg 3, 289, och kvadrerar det. Dividera sedan med provets storlek.
$$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704,2 $$
Steg 5 – Addera alla värden i den andra kolumnen
Nästan tar du summan av alla värden i den andra kolumnen. Detta symboliseras som $ \sum{x^2} $.
$$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$$
$$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Steg 6 – Subtrahera $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
I detta steg, tar du svaret från steg 5 och subtraherar svaret från steg 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$$
$$$ 16827 – 16704,2 = 122,8 $$
Steg 7 – Dividera och få fram variansen
Här tar du svaret från steg 6 och dividerar det med $n – 1$, en mindre än urvalets storlek. Det är variansen!
$$$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n-1}
= \frac{ 122,8 }{4} = 30.7 $$
Steg 8 – Hur man hittar standardavvikelsen från variansen
För att hitta standardavvikelsen tar man slutligen kvadratroten av svaret för variansen från steg 7. Här avrundar jag svaret till 4 decimaler.
$$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Då våra data ursprungligen är i enheterna tum är standardavvikelsen 5,5408 tum.
Det var allt! Inte så illa, va? Det är en bra idé att använda standardavvikelsekalkylatorn ovan för att vägleda dig när du löser fler problem. Försök att manuellt räkna ut lösningarna på egen hand och kontrollera ditt arbete mot den utarbetade lösningen från kalkylatorn. Du har fått det här!