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– Límite de resolución de Rayleigh, Dawes y difracción – Límite de Sparrow
– Brillo estelar telescópico y resolución límite – Resolución de línea oscura – Resolución de detalle ampliada
La resolución es otra función vital del telescopio. En pocas palabras, el límite de resolución del telescopio determina lo pequeño que puede resolverse un detalle en la imagen que forma. En ausencia de aberraciones, lo que determina el límite de resolución es el efecto de la difracción. Al estar sujeta a las propiedades del ojo (detector), la resolución varía con la forma del detalle, el contraste, el brillo y la longitud de onda. El indicador convencional del poder de resolución -llamado comúnmente límite de resolución por difracción- es la separación mínima resoluble de un par de imágenes cercanas de objetos puntuales, establecida de forma un tanto arbitraria por la teoría de la onda en ~λ/D en radianes para la luz incoherente, siendo λ la longitud de onda de la luz, y D el diámetro de la abertura (expresado en segundos de arco, es 134/D para D en mm, o 4,5/D para D en pulgadas, ambos para una longitud de onda de 550nm).
La resolución de dos fuentes puntuales depende inevitablemente del aumento del telescopio. Para que las imágenes de dos puntos de luz se resuelvan completamente, es necesario que estén separadas por al menos un solo fotorreceptor retiniano no iluminado (presumiblemente cono, ya que el límite de resolución de los bastones es significativamente menor). Alcanzar cerca del 100% del límite de difracción para fuentes puntuales requiere aumentos muy elevados, pero la ganancia de resolución es relativamente pequeña después de unas 25x por pulgada de apertura.
Aunque no hay diferencia en una imagen de fuente puntual única entre la luz coherente y la incoherente con respecto a la distribución de la intensidad relativa -siempre que la luz permanezca cerca de la monocromática- el límite de resolución para un par de fuentes puntuales para la primera varía con la diferencia de fase entre las dos fuentes, desde ~2λ/D con diferencia de fase cero, hasta ~λ/D con diferencia de fase π/2, y aproximadamente dos veces mejor que con la diferencia de fase igual a π (es decir.es decir, λ/2), como se muestra en la FIG. 12 izquierda (de Optical Imaging and Aberrations 2, Mahajan). Dado que, según el Teorema de Van Cittert-Zernike, la luz que llega de las estrellas es coherente en los telescopios de tamaño amateur, siempre que sea casi monocromática, es una cuestión interesante saber en qué medida este factor de coherencia, que cambia con el ancho de banda de la longitud de onda y el OPD de la fuente, influye en el límite de resolución real en el campo.
El límite de resolución de difracción de fuente puntual para luz incoherente, luz coherente con λ/4 OPD entre componentes y, quizás, casos específicos de luz parcialmente coherente, viene dado por ~λF, siendo F el número de la relación entre la longitud focal y el diámetro de la apertura (F=ƒ/D, siendo ƒ la longitud focal). Es un producto de la resolución angular y la distancia focal: λF=λƒ/D. En concreto, es el límite de resolución para dos imágenes de objetos puntuales de intensidad casi igual (FIG.12). El límite de resolución puede variar significativamente para dos fuentes puntuales de intensidad desigual, así como con otros tipos de objetos (FIG. 14-16).
FIGURA 12: IZQUIERDA: El límite de difracción para la resolución de dos imágenes de objetos puntuales en luz incoherente se aproxima cuando los dos son de intensidad casi igual y óptima. A medida que las dos PSF se acercan, la intensidad profunda entre ellas disminuye. En la separación central de la mitad del diámetro del disco de Airy – 1,22λ/D radianes (138/D en segundos de arco, para λ=0,55μ y el diámetro de apertura D en mm), conocido como límite de Rayleigh – la profundidad está en casi 3/4 de la intensidad máxima. Reduciendo la separación a λ/D (113,4/D en segundos de arco para D en mm, o 4,466/D paraD en pulgadas, ambos para λ=0,55μ) se reduce la intensidad en profundidad a menos del 2% por debajo del pico. Este es el límite de resolución de difracción convencional para dos fuentes puntuales. Está justo por debajo del límite empírico de resolución de estrellas dobles, conocido como límite de Dawes, dado como 116/Dmm segundos de arco para estrellas blancas de magnitud visual m~5logD-5 para D en mm (m~5logD+2 para D en pulgadas), casi idéntico al ancho completo a la mitad del máximo, o FWHM de la PSF, igual a 1,03λ/D. Con una mayor reducción de la separación, el contraste profundo desaparece, y los dos discos espurios se fusionan. La separación en la que la intensidad se aplana en la parte superior se denomina límite de Sparrow, dado por 107/D para D en mm.
Derecha: La resolución de dos estrellas casi igualmente brillantes en luz coherente a una separación angular de 1,22λ/D varía con la OPD entre dos fuentes puntuales. A diferencia de trayectoria cero, los dos patrones se fusionan, formando los máximos centrales de 1,83λF de radio y 1,47 de intensidad de pico. A π/2 OPD el patrón combinado es idéntico al de la luz incoherente, y a OPD=π los dos máximos de 1,11 están algo más separados, con la intensidad profunda entre ellos cayendo a cero, los dos últimos indicando una resolución límite significativamente mejor. Obsérvese que para un flujo dado de ondas x, las amplitudes de onda individuales A para la luz coherente se suman primero y luego se elevan al cuadrado, como (xA)2, mientras que se elevan al cuadrado y luego se suman para la luz incoherente como xA2, con el fin de obtener su intensidad combinada. Esto hace que la intensidad real de la imagen de la luz coherente para una amplitud dada sea mayor por un factor x que la de la luz incoherente, y que su cambio sea proporcional a x2, no a x.
Las intensidades máximas de las dos imágenes de objetos puntuales en la FIG. 12 permanecen sin cambios en la separación central de 1,22λ/D, y mayores. A separaciones más pequeñas (dentro del límite de Rayleigh), las dos intensidades de los picos comienzan a aumentar, al principio lentamente, luego bastante rápido, con la intensidad combinada duplicándose a medida que los dos centros se unen.
La separación a la que la PSF combinada se aplana en la parte superior se produce a la separación del centro 107/D en segundos de arco, para D en mm (4,2/D para D en pulgadas). Es el llamado límite de Sparrow, que permite la detección de dobles cercanos basándose en el alargamiento visual del punto central brillante del patrón de difracción. Para separaciones más cercanas, la intensidad máxima del patrón combinado se forma en el punto medio entre dos imágenes gaussianas de punto-objeto.
Los gráficos de PSF anteriores son para la intensidad nominal (normalizada). Aunque es una forma bastante común de ilustrar la resolución de fuentes puntuales, la respuesta del ojo humano a la intensidad de la luz es principalmente logarítmica, por lo que se ilustra mejor con PSF logarítmicas. Por ejemplo, la diferencia de intensidad entre el pico central y el segundo máximo en la apertura sin aberraciones es de 57 a 1, respectivamente; el ojo, sin embargo, ve el pico como menos de dos veces más brillante (esto se aplica cuando ambos están bien dentro del umbral de detección del ojo; a medida que el primer anillo brillante más débil se acerca al umbral de detección y cae por debajo de él, la diferencia de intensidad percibida aumenta drásticamente). El gráfico siguiente (FIG. 13) muestra la PSF logarítmica (log10) para la luz policromática (en el rango que es 1/10 de la longitud de onda media, recuadro H), más cercana a la PSF de una estrella real que la PSF monocromática.
FIGURA 13: La PSF logarítmica de la apertura sin aberraciones en la escala de magnitud (estelar) muestra la distribución de la intensidad dentro de la imagen estelar más cercana a la percibida realmente por el ojo humano (es decir, la intensidad aparente escala inversamente con la magnitud). Pasando de una estrella de magnitud cero a una de magnitud 15, no hay indicios de que el tamaño visual de los máximos centrales difiera considerablemente entre las estrellas brillantes y las medianamente débiles (esto no tiene en cuenta los posibles -y probables- efectos fisiológicos secundarios en la retina, especialmente con fuentes muy brillantes). Sólo cuando la periferia de los máximos centrales empieza a caer por debajo del umbral de detección, su tamaño visible disminuye. Para la máxima resolución teórica de dos fuentes puntuales, fijada en λ/D en radianes (206,265λ/D en segundos de arco), el disco central visible no puede ser significativamente mayor que λ/D angularmente (ilustrado para la estrella de magnitud cero, por conveniencia). Un disco moderadamente más grande aún debería permitir una resolución clara, debido a la baja intensidad que se forma entre dos imágenes de la estrella, con los discos probablemente apareciendo menos que perfectamente redondos. El gráfico anterior implica que tendría lugar en el umbral de detección aproximadamente dos magnitudes por debajo de la intensidad máxima. Esto no está muy lejos de la base comunicada para establecer el límite de resolución empírica por el reverendo William Rutter Dawes: pares casi igualmente brillantes de unas tres magnitudes más que la estrella más débil detectable con la apertura probada (Sky Catalogue 2000.0, Hirshfeld/Sinnott, p.xi). Según esto, el límite de resolución sólo es posible en ausencia de estructura anular visible (el nivel de aberración típico, o la obstrucción central media, hacen brillar el primer anillo brillante menos de una magnitud -como se ilustra en laFIG. 95-, lo que equivale a un diferencial de altura de ~2 mm en el gráfico anterior).
Como se ha mencionado, este límite se aplica a imágenes de objetos puntuales casi igualmente brillantes y con contraste en el nivel de intensidad óptimo. El límite de resolución para los pares de estrellas de brillo desigual, o los que están significativamente por encima o por debajo del nivel óptimo de intensidad es menor. Para otras formas de imagen, el límite de resolución también puede desviarse, y de hecho lo hace, significativamente, tanto por encima como por debajo del límite convencional. Un ejemplo es una línea oscura sobre fondo claro, cuya imagen de difracción se define con las imágenes de los dos bordes brillantes que la rodean. Estas imágenes se definen con la función de dispersión de bordes (ESF), cuya configuración difiere significativamente de la PSF (FIG. 14). Siendo su caída de intensidad dentro de la secuencia principal, por otra parte, bastante similar a la de la PSF, la resolución de este tipo de detalles es más probable que esté limitada por la sensibilidad del detector, que por la difracción (en el sentido de que el diferencial de intensidad para el punto medio entre las imágenes gaussianas de los bordes frente a los picos de intensidad, forma un diferencial de contraste no nulo para cualquier separación finita de los bordes).
FIGURA 14: El límite de la resolución por difracción varía significativamente con la forma del objeto/detalle. La imagen de una línea oscura sobre un fondo brillante es una conjunción de imágenes de difracción de los dos bordes brillantes, descrita por la función de dispersión de bordes (ESF). Como muestra la ilustración, la brecha entre dos perfiles de intensidad a una separación λ/D es mucho mayor para la ESF que para la PSF (que es casi idéntica a la función de dispersión de líneas, que determina la resolución MTF límite). Esto implica una resolución límite considerablemente mejor que λ/D, lo que concuerda con las observaciones prácticas (división de Cassini, rilles lunares, etc.). La caída gradual de la intensidad en la parte superior de la curva de intensidad alrededor de los bordes puede producir características muy sutiles de bajo contraste, incluso si la separación en sí misma permanece invisible.
La imagen de difracción de una fuente puntual en la superficie de la mayoría de los objetos extendidos podría detectarse sólo si se separa del resto de la superficie, no porque sea pequeña y relativamente débil, sino porque suele tener una intensidad mucho menor que la de la superficie. Por ejemplo, el brillo medio total de Júpiter es como si tuviera una estrella de magnitud ~6 en cada segundo de arco cuadrado de su superficie. ¿Es 1 segundo de arco cuadrado de superficie emisor como una fuente puntual válida? Podría ser, pero realmente depende del tamaño de la apertura. El cálculo de difracción (Imaging and aberrations 2, Mahajan) muestra que el disco incoherente emisor de luz -o un agujero- más pequeño que ~1/4 del disco de Airy, produce una PSF no apreciablemente diferente a la de una fuente puntual perfecta (FIG. 14). Con el diámetro angular del disco de Airy dado por 2,44λ/D en radianes (multiplicado por 206,265 para los segundos de arco), eso establece el diámetro máximo del disco (agujero) que califica como fuente puntual en ~0,6λ/D, o menor, en radianes, ~125.000λ/D, o menor, en segundos de arco (el tamaño lineal correspondiente está directamente determinado por su distancia, como producto de la distancia y su tamaño angular en radianes).
En consecuencia, la imagen de difracción de una superficie extendida puede evaluarse como un producto de puntos superficiales no mayores que 1/4 del diámetro del disco de Airy (una mayor división de esta fuente puntual efectiva en una luminancia de superficie dada simplemente disminuye los máximos reales de la PSF de dicha unidad de superficie, pero sus características espaciales no cambian apreciablemente frente a la de 1/4 del punto del disco de Airy, ni el volumen de la PSF integrado sobre 1/4 del área del punto del disco de Airy difiere apreciablemente del producido por dicho punto). En términos de segundos de arco cuadrados, el área correspondiente al punto de 125.000λ/D de diámetro es, para el lado cuadrado, más pequeña por un factor de π/4, por lo que viene dada por 99.000λ/D. Para λ=0,00055mm (pico fotópico), eso daría 0,54 segundos de arco cuadrados (es decir, un cuadrado con un lado de 0,54 segundos de arco) para una apertura de 100mm, 0,27 segundos de arco para 200mm, y así sucesivamente.
FIGURA 15: Un objeto no tiene que ser estrictamente una fuente puntual para producir una PSF de fuente puntual, pero si sus dimensiones angulares superan cierto nivel, su máximo de difracción central se amplía, y se transforma en una imagen de objeto extendido. IZQUIERDA: Cambio en la distribución de intensidad radial a medida que el área emisora aumenta desde cero (fuente puntual) hasta un disco de 2λF de radio. Cuando el radio del disco es igual a λF/4, es decir, 1/5 del radio del disco de Airy, la PSF resultante es sólo ligeramente más amplia que la de una fuente puntual, por lo que un área emisora circular de ese tamaño, o menor, puede considerarse una fuente puntual con respecto a su imagen de difracción. DERECHA: Cambio en la intensidad central con el aumento del desenfoque axial. Cuanto mayor es el radio del disco, menos sensible al desenfoque es la intensidad central de su imagen. Mientras que cae a cero ya con un desenfoque de 1 onda para un radio de disco (agujero) igual a λF/4, se mantiene por encima de cero más allá de un desenfoque de 4 ondas ya con un radio de disco igual a λF, ligeramente menor que el del disco de Airy. Obsérvese que las intensidades centrales en ambos gráficos están normalizadas a 1, pero la intensidad real del pico varía con el tamaño del disco. Con una luminancia superficial del disco constante, los picos de difracción reales para 0,25, 0,5, 1 y 2 radios, normalizados al más alto, se relacionarían como 0,15, 0,88, 0,97 y 1, respectivamente.
A diferencia de la imagen de difracción de una fuente puntual, en la que no hay diferencias apreciables en la forma de la PSF normalizada para luz coherente e incoherente, una imagen de un objeto extendido en luz coherente desarrolla picos aislados sobre sus máximos centrales, siendo los más fuertes en su borde. Esto da lugar al efecto denominado «edge ringing», que hace que la integridad de la imagen sea inferior a la de la luz incoherente.
La superficie de un objeto extendido puede descomponerse en fuentes puntuales, que se superponen y crecen en una imagen de difracción más grande del mismo. Cualquier área distintiva en dicha superficie también puede descomponerse en sus fuentes puntuales efectivas. El hecho de que dicha zona -un detalle de la superficie- sea visible en la imagen del telescopio depende de múltiples factores: su tamaño, el brillo y el contraste y, si hay colores, la especificidad del tono y la saturación.
Por supuesto, las aberraciones ópticas también pueden tener un efecto significativo en la distribución de la intensidad, la imagen frente al objeto, la energía de dispersión y la disminución del contraste/resolución. Mientras que las aberraciones aquí causan el mismo efecto general, los detalles son diferentes a los de la fuente puntual (FIG. 16).
FIGURA 16: Distribución de la intensidad radial dentro de la imagen de difracción del disco incoherente, con el radio 2,3 veces el radio del disco de Airy con desenfoque cero (negro sólido) y cantidades especificadas de la aberración. Hasta 1/4 de onda P-V de desenfoque tiene un efecto insignificante tanto en la intensidad central como en la energía perdida en el máximo central, y hasta 1/2 onda sólo reduce la intensidad central de este máximo a 0,91. Una onda de desenfoque, que lleva la intensidad central de la PSF a cero, sigue estando aquí justo por debajo de 0,5. Sin embargo, el valor numérico de la intensidad central no tiene aquí las mismas implicaciones que en la PSF. Mientras que en esta última se aproxima mucho a la energía relativa conservada en los máximos -lo que implica directamente la pérdida de energía relativa-, aquí es generalmente optimista en ese sentido. La razón es la manera diferente en que la aberración afecta a la forma de los máximos centrales: dado que su energía es proporcional a su volumen, el volumen aberrado remodelado que, a diferencia de los máximos de la PSF, pierde relativamente más energía por los lados que por la parte superior de los máximos centrales aberrados, provoca una disparidad significativa entre la caída nominal relativa de los máximos centrales y la pérdida relativa de energía. En general, esta última es significativamente mayor. Así, por ejemplo, mientras que la caída de los máximos centrales para 1/4 y 1/2 de onda P-V de desenfoque es del 2% y del 9%, la correspondiente pérdida de energía es -muy aproximadamente- más cercana al 10% y al 30%, respectivamente. Al mismo tiempo, el cambio en el tamaño relativo del FWHM para estos niveles de error, de forma similar al PSF, sigue siendo insignificante.
Si el efecto de las aberraciones en la imagen de difracción de un objeto extendido es mucho menor, ¿cómo es que las aberraciones en este rango, bastante comunes en los telescopios, infligen una pérdida notable al contraste del detalle extendido? Pues bien, no lo hacen; no a este nivel de tamaño de detalle. Con un radio de imagen gaussiano de 2,3λF, este disco es casi 4,5 veces más ancho que la frecuencia de corte de la MTF (1,03λF), lo que sitúa la correspondiente frecuencia normalizada de la MTF en 0,22. Por lo tanto, es en el dominio de la baja frecuencia donde la caída del contraste causada por las aberraciones es generalmente menor (FIG. 17).
FIGURA 17: Gráficas MTF policromáticas (fotópicas) a la izquierda que muestran el efecto del desenfoque en la transferencia de contraste y, para comparar, su efecto en la CTF (derecha). La MTF de onda sinusoidal (estándar) tiene en general una transferencia de contraste menor que la CTF de onda cuadrada, y el desenfoque en la primera disminuye el contraste frente a la imagen libre de aberraciones a una frecuencia de 0,22 un 14% a 1/4 de ondaP-V, y un 39% a 1/2 de onda. Esto se compara con el 19% y el 56% de pérdida de contraste, respectivamente, promediado en toda la gama de frecuencias. Con la CTF de onda cuadrada, la pérdida de contraste correspondiente es del 14% y del 40%, respectivamente.
Tanto la MTF como la CTF dan una pérdida de contraste en este tamaño de detalle mayor que la estimación aproximada de la pérdida de energía/contraste basada en la distribución de energía radial. La diferencia es relativamente modesta a 1/4 de onda de desenfoque, 14% frente a ~10%, y más ambivalente a 1/2 onda: 56% y 40% frente a ~30% para la MTF y la CTF, respectivamente. Pero es de esperar, ya que ninguno de los dos es directamente comparable en la forma a un disco coherente (a 1/2 onda de error de desenfoque, la diferencia de transferencia de contraste entre los dos es incluso ligeramente mayor que entre el CTF y el disco).
Y ninguna de las dos MTFs ni, para el caso, el disco incoherente sobre fondo oscuro, son una forma de detalle similar a, digamos, el típico detalle planetario. Dicho detalle está incrustado en el entorno de detalles adyacentes de intensidad similar. El nivel de su detección depende tanto -si no más- de la distinción del color, como del diferencial de intensidad (contraste). La MTF no tiene en cuenta el factor color. Si dos objetos de la misma intensidad se ponen en contacto, su imagen mostrará una superficie única y continua, simplemente porque no hay discontinuidad en la emisión de ondas. Pero si estas superficies emiten a diferentes longitudes de onda principales, el ojo creará una distinción asignándoles diferentes colores. En otras palabras, el color produce una calidad similar al contraste, que puede mejorar la detección/resolución para cualquier nivel de contraste inherente a la imagen, incluido el cero.
Sin embargo, si suponemos que dichos detalles extendidos no están unidos sin fisuras a su entorno, y/o varían en sus intensidades relativas -el escenario más probable-, entonces hay discontinuidad de emisión de onda entre ellos, y sus imágenes de difracción, al menos en primera aproximación, se superponen formando la compleja imagen final. Entre dos detalles muy cercanos de intensidad similar – como se ilustra en la FIG. 10C arriba a la derecha, la energía combinada probablemente llenará la mayor parte de la brecha entre sus respectivas imágenes individuales, dejando sólo una estrecha zona de transición de muy bajo contraste, poco probable de ser detectada. La detección de tales detalles dependería totalmente de su distinción de color; cuanto más baja sea, más pronto se verá afectada por la dispersión de energía causada por la aberración, pero el grado en que se verá afectada también depende críticamente del tamaño angular del detalle.
Si la intensidad relativa del detalle es significativamente diferente, el contraste también se convierte en un factor significativo (FIG. 10C, abajo a la derecha). Estos detalles son más típicos de la superficie lunar. Debido a su nivel de contraste relativamente alto, se verán menos afectados por el derrame de energía aberrada. De nuevo, su tamaño angular es el principal determinante del efecto de cualquier nivel de aberración en su detección.
Esto, obviamente, sólo araña la superficie de la relación entre la calidad de imagen de los detalles extendidos y las aberraciones. Pero este concepto tan básico arroja más luz sobre este tema bastante oscuro. En general, un diafragma más grande resolverá más, porque su fuente puntual efectiva (que también puede verse como píxel de la imagen) es, como se ha dicho, inversamente proporcional al tamaño del diafragma. Además, tendrá mejor saturación de color. El factor de luminosidad es algo ambivalente, ya que puede ser tanto beneficioso como perjudicial. En general, es beneficioso para la detección de fuentes puntuales y similares, así como de objetos débiles de todo tipo. Puede ser desventajoso para la resolución de detalles de objetos puntuales y extendidos brillantes. Sin embargo, dado que la transmisión de la luz del telescopio puede reducirse fácilmente en cualquier apertura, ese perjuicio es de naturaleza más bien formal.
En general, el tamaño del detalle detectable más pequeño en la superficie de un objeto extendido es aproximadamente proporcional al límite de resolución de difracción nominal del telescopio (objeto puntual) y a la potencia de captación de luz, pero también es significativamente menor, variando con el tipo de detalle y el entorno. Para los típicos detalles brillantes de bajo contraste (planetas principales), y detalles tenues de bajo contraste (la mayoría de las nebulosas y galaxias), el análisis de la MTF de Rutten y Venrooij (Telescope Optics, p215) indica que el límite de resolución de la MTF es inferior aproximadamente en un factor de ~2 y ~7, respectivamente, que para el patrón brillante y contrastado (que es prácticamente idéntico al límite de resolución estelar nominal del telescopio).
Las premisas formales y los resultados experimentales sobre el tema de la resolución de los telescopios se tratan en detalle en Amateur Astronomer’s Handbook, J.B. Sidgwick (p37-51). Naturalmente, la resolución en general se deteriorará con la introducción de aberraciones de frente de onda.
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