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Utilizando la calculadora de desviación estándar
La calculadora de desviación estándar anterior ofrece una forma sencilla tanto de calcular como de aprender a encontrar la desviación estándar de un conjunto de números. Mejor que cualquier calculadora estándar, esta calculadora proporciona una solución paso a paso sobre cómo encontrar la respuesta por su cuenta. Esta calculadora de desviación estándar es una excelente herramienta de enseñanza para ayudarte a obtener las respuestas correctas en tu propio trabajo. Si también necesitas encontrar el rango de un conjunto de datos, consulta la página Calculadora de Medidas de Variabilidad. Esa calculadora encontrará las tres medidas de variabilidad, el rango, la varianza y la desviación estándar, y te mostrará una solución paso a paso.
¿Qué es la desviación estándar?
La definición de desviación estándar es una medida de la «dispersión» de los valores de los datos dentro del conjunto de datos. La «dispersión» se refiere a lo cerca o lejos que están los valores de los datos en comparación con la media del conjunto de datos. La varianza es el cuadrado de la desviación estándar. Tanto la varianza como la desviación estándar son medidas de variabilidad.
Esta calculadora de desviación estándar no sólo le da una respuesta a su problema, sino que también le guía a través de una solución paso a paso.
¿Qué implica una desviación estándar grande?
Por la definición de desviación estándar, mide la dispersión de los valores de los datos con respecto a la media. Si hay una gran desviación estándar, entonces hay una gran dispersión de los valores de los datos. Esto significa que los valores están más alejados de la media. Esto implica una gran variabilidad en el conjunto de datos. Si la desviación estándar es pequeña, los valores de un conjunto de datos están menos alejados de la media. Esto implica menos variabilidad y más consistencia.
Supongamos que haces un examen y la desviación estándar de las notas de la clase es de 5,0. En este punto, no podemos decir realmente si tu clase tuvo un desempeño consistente o no, porque no tenemos nada con qué compararlo. Ahora, tu amigo de otra clase hace un examen y la desviación estándar de las notas de esa clase es de 15,0. Cuando comparamos las dos desviaciones estándar, hay más consistencia y menos variabilidad en tu clase. Hay menos consistencia y más variabilidad en la clase de tu amigo.
Si utilizas la calculadora de desviación estándar para encontrar las desviaciones estándar de dos conjuntos de datos diferentes, la desviación estándar que es más pequeña es para el conjunto de datos que es más consistente, y la desviación estándar que es más grande es para el conjunto de datos que es más variable.
Ejemplo de ingresos – Comparación de dos ciudades
Supón que tienes dos conjuntos de datos que consisten en ingresos familiares. El primer conjunto de datos consiste en la población de ingresos de las familias de la ciudad ‘A’, y el segundo conjunto de datos consiste en la población de ingresos de las familias de la ciudad ‘B’. La ciudad ‘A’ y la ciudad ‘B’ tienen ambas unos ingresos familiares medios de 65.000 dólares. Hasta ahora, tenemos:
Media de la ciudad A:
µ = 65.000
Media de la ciudad B:
µ = 65.000
Si la desviación típica del conjunto de datos de los ingresos de la ciudad A es de $ \$ 5.50000 $, y la desviación estándar del conjunto de datos de los ingresos de la ciudad B es de $ \$ 2.100,00 $, entonces sabemos que los ingresos de la ciudad A están más alejados de la media, mientras que los ingresos de la ciudad B están más cerca, o agrupados más estrechamente, alrededor de la media. Los ingresos en la ciudad A tienen mayor variabilidad que los ingresos en la ciudad B.
Símbolo de la desviación estándar
El símbolo de la desviación estándar de un conjunto de datos que representa una muestra es s. El símbolo de la desviación estándar de un conjunto de datos que representa la población es σ (sigma griego en minúscula). Tenemos la información de la población tanto de la ciudad «A» como de la ciudad «B». Por lo tanto, el símbolo de la desviación estándar para ambas son:
Desviación estándar de la ciudad A:
σ = 5.500 $
Desviación estándar de la ciudad B:
σ = 2.100 $
Desviación estándar para la no variabilidad
Una desviación estándar es siempre un número positivo, o posiblemente 0. Supongamos que en la ciudad ‘C’, todas las familias tienen los mismos ingresos, $ \$ 65.000 $. Aunque en la realidad esto no es posible, matemáticamente esto significaría que el significado de los ingresos en la ciudad ‘C’ es $ \$ 65.000 $, y la desviación estándar es 0. Una desviación estándar de 0 indica que un conjunto de datos no tiene ninguna variabilidad, y cada valor de datos en el conjunto de datos es exactamente el mismo.
¡Inténtalo! Utilizando la calculadora de desviación estándar, introduzca lo siguiente:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Verá que la desviación estándar se calculará en 0, y los pasos para la solución le mostrarán por qué es 0.
Unidades utilizadas para la desviación estándar
Las unidades para la desviación estándar son las mismas que las unidades para los valores de los datos en el conjunto de datos. En nuestro ejemplo anterior, los valores de los datos son ingresos en dólares, por lo tanto la desviación estándar está en dólares.
¿Qué es la varianza?
Relacionada con la desviación estándar de un conjunto de datos está la varianza de un conjunto de datos. La varianza de un conjunto de datos es el cuadrado de la desviación estándar y, por tanto, las unidades de la varianza se elevan al cuadrado de las unidades de la desviación estándar. El símbolo de la varianza de la muestra es s2, y el símbolo de la varianza de la población es σ2. En nuestro ejemplo anterior, las varianzas de la ciudad A y de la ciudad B son:
Varianza de la ciudad A:
σ2 = 30.250.000 $
Varianza de la ciudad B:
σ2 = 4.410.000 $
De la misma forma que se haría manualmente, la calculadora de la desviación típica encuentra primero la varianza y luego saca la raíz cuadrada para encontrar la desviación típica.
Aplicando las fórmulas de la desviación estándar y la varianza
Ahora que conoces la definición de desviación estándar, ¿quieres aprender a calcular la desviación estándar y la varianza? Puedes aplicar las fórmulas de desviación estándar y varianza, o puedes desplazarte hacia arriba y utilizar la calculadora de desviación estándar en línea. En el siguiente tutorial te mostraré cómo encontrar la desviación estándar y la varianza a mano utilizando fórmulas.
¿Quieres saber cómo encontrar la desviación estándar o la varianza de un conjunto de datos manualmente? Entonces, tendrás que utilizar las fórmulas de varianza y/o desviación estándar. Estas fórmulas pueden parecer complejas, pero cuando se toman en pequeños pasos, el proceso para calcularlas es muy manejable. Las fórmulas utilizan diferentes símbolos, dependiendo de si el conjunto de datos representa una población o una muestra.
Hay dos versiones de las fórmulas de varianza y desviación estándar, las fórmulas estándar y las computacionales. En este artículo utilizaré la fórmula computacional. Es más sencilla de calcular a mano y tiene menos errores de redondeo. Si quieres ver la solución de la fórmula estándar, la Calculadora de Desviación Estándar de arriba puede mostrarte las soluciones usando ambas fórmulas.
Fórmula de la varianza de la población y fórmula de la varianza de la muestra
| Fórmula de la varianza de la población | Fórmula de la varianza de la muestra |
|---|---|
$$ {\sigma^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({\suma}{x})^2}{N}{N}$Donde $\sigma^2$ es el símbolo de la varianza de la población, |
$$ {s^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}{n-1}$Donde $s^2$ es el símbolo de la varianza de la muestra, |
Hay un paso muy sencillo entre obtener la varianza y luego obtener la desviación estándar. Una vez que tienes la varianza, sólo tienes que sacar la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.
Fórmula de la desviación estándar de la población y fórmula de la desviación estándar de la muestra
| Desviación estándar de la población Fórmula | Fórmula de la desviación estándar de la muestra |
|---|---|
$$ {\sigma}= \sqrt{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{N}} $$Donde $\sigma$ es el símbolo de la desviación estándar de la población, |
$$ {s}= \sqrt{\frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}} $$Donde $s$ es el símbolo de la desviación estándar de la muestra, |
Ejemplo sobre cómo encontrar la desviación estándar y la varianza
Vamos a ver cómo encontrar la desviación estándar y la varianza para un pequeño conjunto de datos, dado que el conjunto de datos representa una muestra de las alturas de los niños. Después de obtener la varianza, daremos un pequeño paso para obtener la desviación estándar. Calcularemos nuestras respuestas completando una serie de 8 pasos.
El Problema: Encuentre la varianza y la desviación estándar para lo siguiente. Suponga que tiene una muestra de 5 niños y que sus alturas son:
56 pulg, 49 pulg, 61 pulg, 60 pulg, 63 pulg
Paso 1 – Escriba las fórmulas de varianza y desviación estándar de la muestra
Debido a que este problema establece que los 5 valores representan una muestra, utilizaremos las fórmulas de varianza y desviación estándar de la muestra. Primero, comience escribiendo las fórmulas computacionales para la varianza muestral y la desviación estándar muestral:
$$ {s^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}{n-1}$$
$$ {s}= \sqrt{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n – 1}} $$
Paso 2 – Crear una tabla para todos los valores de $ x $ y $x^2$
A continuación, dibujar una tabla de 2 columnas y 5 filas para cada valor de los datos, y una fila de cabecera. Etiqueta la fila de cabecera con $ x $ y $ x^2 $. Ahora, pon cada uno de los valores de los datos en la columna $ x $. Cada valor de los datos tiene su propia fila. Cuadrar cada valor de x en la primera columna, y poner estos valores en la segunda columna.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Paso 3 – Sumar todos los valores de la primera columna
Después de crear la tabla y las columnas, tome la suma de todos los valores de la primera columna. Esto se simboliza como $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$ \sum{x} = 289 $$
Paso 4 – Cuadrar y dividir
Ahora, tome la respuesta del paso 3, 289, y eleve al cuadrado. Luego, divida por el tamaño de la muestra.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Paso 5 – Sume todos los valores de la segunda columna
A continuación, tome la suma de todos los valores de la segunda columna. Esto se simboliza como $ \\Nsuma{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Paso 6 – Reste $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
En este paso, tomarás la respuesta del paso 5 y restarás la respuesta del paso 4.
$$ suma{x^2} – \frac{(\suma{x})^2}{n}$
$$ 16827 – 16704,2 = 122,8 $$
Paso 7 – Dividir y obtener la varianza
Aquí, toma la respuesta del paso 6 y divídela entre $n – 1$, uno menos que el tamaño de la muestra. Eso es la varianza!
$$ {s^2}= \frac{{suma}{x^2} – \frac{({suma}{x})^2}{n}{n-1}
= \frac{ 122,8 }{4} = 30.7 $$
Paso 8 – Cómo encontrar la desviación estándar de la varianza
Por último, para encontrar la desviación estándar, tome la raíz cuadrada de la respuesta para la varianza del paso 7. Aquí, redondearé la respuesta a 4 decimales.
$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Como nuestros datos están inicialmente en unidades de pulgadas, la desviación estándar es de 5,5408 pulgadas.
¡Eso es! No está tan mal, ¿eh? Es una gran idea utilizar la calculadora de desviación estándar anterior para guiarte en la resolución de más problemas. Intenta resolver manualmente las soluciones por tu cuenta y comprueba tu trabajo con la solución elaborada por la calculadora. Lo has conseguido!