Indholdsfortegnelse
Anvendelse af standardafvigelsesberegneren
Standardafvigelsesberegneren ovenfor tilbyder en enkel måde at både beregne og lære, hvordan man finder standardafvigelsen for et sæt tal. Bedre end enhver standardberegner giver denne beregner en trinvis løsning på, hvordan du selv kan finde svaret. Denne standardafvigelsesberegner er et fremragende undervisningsværktøj, der kan hjælpe dig med at guide dig til at få de korrekte svar i dit eget arbejde. Hvis du også har brug for at finde intervallet for et datasæt, kan du se siden Beregneren til målinger af variabilitet. Denne regnemaskine finder alle tre variabilitetsmål, intervallet, variansen og standardafvigelsen, og viser dig en trinvis løsning.
Hvad er standardafvigelse?
Standardafvigelsesdefinitionen er et mål for “spredningen” af dataværdierne inden for datasættet. “Spredningen” henviser til, hvor tæt på eller langt væk dataværdierne er i forhold til datasættets gennemsnit. Variansen er kvadratet på standardafvigelsen. Både variansen og standardafvigelsen er mål for variabilitet.
Denne standardafvigelsesberegner giver dig ikke kun et svar på dit problem, den guider dig også gennem en trinvis løsning.
Hvad betyder en stor standardafvigelse?
Med standardafvigelsesdefinitionen måler den spredningen af dataværdier fra middelværdien. Hvis der er en stor standardafvigelse, så er der en stor spredning af dataværdierne. Det betyder, at værdierne er mere spredt langt væk fra middelværdien. Dette indebærer en stor variabilitet i datasættet. Hvis standardafvigelsen er lille, er dataværdierne i et datasæt mindre spredt ud fra gennemsnittet. Det indebærer mindre variabilitet og mere konsistens.
Sæt, du tager en eksamen, og standardafvigelsen for klassens karakterer er 5,0. På dette tidspunkt kan vi ikke rigtig sige, om din klasse har præsteret ensartet eller ej, fordi vi ikke har noget at sammenligne det med. Nu tager din ven i en anden klasse en eksamen, og standardafvigelsen for disse klasses karakterer er 15,0. Når vi sammenligner de to standardafvigelser, er der mere ensartethed og mindre variabilitet i din klasse. Der er mindre konsistens og mere variabilitet i din vens klasse.
Hvis du bruger standardafvigelsesberegneren til at finde standardafvigelserne for to forskellige datasæt, er den standardafvigelse, der er mindre, for det datasæt, der er mere konsistent, og den standardafvigelse, der er større, for det datasæt, der er mere variabelt.
Eksempel på indkomst – sammenligning af to byer
Sæt, at du har to datasæt bestående af familieindkomst. Det første datasæt består af populationen af indkomster for familier i by “A”, og det andet datasæt består af populationen af indkomster for familier i by “B”. By “A” og by “B” har begge en gennemsnitlig familieindkomst på 65.000 dollars. Indtil videre har vi:
By A middelværdi:
µ = 65.000
By B middelværdi:
µ = 65.000
Hvis standardafvigelsen for datasættet af indkomster fra by A er $ \$ 5.500.00 $, og standardafvigelsen for datasættet af indkomster fra by B er $ \$ 2.100,00 $, så ved vi, at indkomsterne i by A er spredt længere væk fra gennemsnittet, mens indkomsterne i by B er tættere på, eller tættere grupperet, omkring gennemsnittet. Indkomsterne i by A har større variabilitet end indkomsterne i by B.
Symbol for standardafvigelsen
Symbolet for standardafvigelsen for et datasæt, der repræsenterer en stikprøve, er s. Symbolet for standardafvigelsen for et datasæt, der repræsenterer en population, er σ (lille græsk sigma). Vi har oplysninger om populationen for både by “A” og by “B”. Derfor er symbolet for standardafvigelsen for begge:
By A standardafvigelse:
σ = 5.500 $
By B standardafvigelse:
σ = 2.100 $
Standardafvigelse for ingen variabilitet
En standardafvigelse er altid et positivt tal, eller eventuelt 0. Antag, at i by ‘C’ har alle familier den samme indkomst, $ \$ 65.000 $. Selv om det realistisk set ikke er muligt, ville det matematisk set betyde, at gennemsnittet for indkomsterne i by “C” er $ \$ 65.000 $, og standardafvigelsen er 0. En standardafvigelse på 0 angiver, at et datasæt ikke har nogen variabilitet overhovedet, og at alle dataværdier i datasættet er nøjagtig ens.
Afprøv det! Indtast følgende ved hjælp af standardafvigelsesberegneren:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Du vil se, at standardafvigelsen beregnes til 0, og trinene til løsningen vil vise dig, hvorfor den er 0.
Enheder, der anvendes til standardafvigelsen
Enhederne til standardafvigelsen er de samme som enhederne til dataværdierne i datasættet. I vores eksempel ovenfor er dataværdierne indkomster i dollars, og derfor er standardafvigelsen i dollars.
Hvad er variansen?
Sammenhængende med standardafvigelsen for et datasæt er variansen for et datasæt. Variansen af et datasæt er kvadratet på standardafvigelsen, og derfor er enhederne for variansen kvadreret i forhold til enhederne for standardafvigelsen. Symbolet for stikprøvevariansen er s2, og symbolet for populationsvariansen er σ2. I vores eksempel ovenfor er varianserne for by A og by B:
By A varians:
σ2 = 30.250.000 $2
By B varians:
σ2 = 4.410.000 $2
Som du ville gøre manuelt, finder standardafvigelsesberegneren variansen først, og tager derefter kvadratroden for at finde standardafvigelsen.
Anvendelse af formlerne for standardafvigelse og varians
Nu da du kender definitionen af standardafvigelse, vil du så lære, hvordan du beregner standardafvigelse og varians? Du kan enten anvende formlerne for standardafvigelse og varians, eller du kan scrolle opad og bruge standardafvigelsesberegneren online. I nedenstående tutorial viser jeg dig, hvordan du finder standardafvigelsen og variansen manuelt ved hjælp af formler.
Vil du vide, hvordan du finder standardafvigelsen eller variansen for et datasæt manuelt? Så skal du bruge varians- og/eller standardafvigelsesformler. Disse formler kan se komplekse ud, men når de tages i små trin, er processen til beregning af dem meget overskuelig. Formlerne bruger forskellige symboler, afhængigt af om datasættet repræsenterer en population eller en stikprøve.
Der findes to versioner af varians- og standardafvigelsesformlerne, nemlig standardformlen og beregningsformlen. Jeg vil bruge den beregningsmæssige formel i denne artikel. Den er enklere at beregne i hånden og har færre afrundingsfejl. Hvis du vil se løsningen med standardformlen, kan du i standardafvigelsesberegneren ovenfor se løsninger med begge formler.
Befolkningsvariansformel og stikprøvevariansformel
| Befolkningsvariansformel | Stikprøvevariansformel |
|---|---|
$$$ {\sigma^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x}{x})^2}{N}}{N}$$$Hvor $\sigma^2$ er symbolet for populationsvariansen, |
$$$$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n-1}$$$Hvor $s^2$ er symbolet for stikprøvevarians, |
Der er et meget enkelt trin mellem at få variansen og derefter at få standardafvigelsen. Når du har variansen, skal du blot tage kvadratroden for at få standardafvigelsen.
Bestandardafvigelsesformel for population og prøveformel for standardafvigelse
| Bestandardafvigelse for population Formel | Stikprøvens standardafvigelsesformel |
|---|---|
$$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}}{N}}} $$Hvor $\sigma$ er symbolet for populationens standardafvigelse, |
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{{({\sum}{x}{x})^2}{n}}}{n – 1}}} $$Hvor $s$ er symbolet for stikprøvens standardafvigelse, |
Eksempel på, hvordan man finder standardafvigelsen og variansen
Lad os gennemgå, hvordan man finder standardafvigelsen og variansen for et lille datasæt, givet at datasættet repræsenterer en stikprøve af børns højder. Når vi har fået variansen, tager vi derefter et lille skridt for at få standardafvigelsen. Vi vil beregne vores svar ved at gennemføre en serie på 8 trin.
Problemet: Find variansen og standardafvigelsen for følgende. Antag, at du har en stikprøve på 5 børn, og at deres højder er:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Strin 1 – Skriv formlerne for stikprøvens varians og stikprøvens standardafvigelse
Da dette problem angiver, at de 5 værdier repræsenterer en stikprøve, vil vi bruge formlerne for stikprøvens varians og stikprøvens standardafvigelse. Start først med at skrive de beregningsmæssige formler for stikprøvevariansen og stikprøvens standardafvigelse:
$$$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n-1}$$$$
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n – 1}}} $$
Stræk 2 – Opret en tabel for alle værdier af $ x $ og $x^2$
Tegn derefter en tabel med 2 kolonner og 5 rækker for hver dataværdi og en overskriftsrække. Mærk overskriftsrækken med $ x $ og $ x^2 $. Sæt nu hver af dataværdierne i kolonnen $ x $. Hver dataværdi har sin egen række. Kvadratér hver værdi af x i den første kolonne, og sæt disse værdier i den anden kolonne.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Stræk 3 – Læg alle værdierne sammen i den første kolonne
Når tabellen og kolonnerne er oprettet, tager du summen af alle værdierne i den første kolonne. Dette symboliseres som $ \sum{x} $.
$$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$$ \sum{x} = 289 $$
Stræk 4 – Kvadrer og divider
Nu skal du tage svaret fra trin 3, 289, og kvadrere det. Divider derefter med størrelsen af stikprøven.
$$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704,2 $$
Stræk 5 – Læg alle værdierne i anden kolonne sammen
Næste trin er at tage summen af alle værdierne i anden kolonne. Dette er symboliseret som $ \sum{x^2} $.
$$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$$
$$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Stræk 6 – Træk $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
I dette trin, tager du svaret fra trin 5 og trækker svaret fra trin 4 fra.
$$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$$
$$$ 16827 – 16704,2 = 122,8 $$
Strin 7 – Divider og få variansen
Her tager du svaret fra trin 6 og dividerer med $n – 1$, én mindre end stikprøvens størrelse. Det er variansen!
$$$ {s^2}= \frac{{{{\sum}{x^2}} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n-1}
= \frac{ 122,8 }{4} = 30.7 $$
Strin 8 – Sådan finder du standardafvigelsen ud fra variansen
Sidst, for at finde standardafvigelsen, skal du tage kvadratroden af svaret for variansen fra trin 7. Her runder jeg svaret til 4 decimaler.
$$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Da vores data oprindeligt er i enheder af tommer, er standardafvigelsen 5,5408 tommer.
Det var det hele! Ikke så slemt, hva’? Det er en god idé at bruge standardafvigelsesberegneren ovenfor til at guide dig i løsningen af flere opgaver. Prøv at regne løsningerne ud manuelt på egen hånd og tjek dit arbejde i forhold til den udregnede løsning fra lommeregneren. Du FÅR det!